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Negazione, contraddizione, esclusione, esaustività

Questa presentazione è una panoramica su alcuni importanti articoli che hanno dato vita a un dibattito sulle relazioni che sussistono fra certe nozioni fondamentali che attraversano tutta la filosofia della logica: le nozioni di negazione, contraddizione, esclusione ed esaustività.

Tradizionalmente sono stati proposti due modi di caratterizzare la relazione di contraddizione fra due enunciati a, b. Una prima caratterizzazione ricorre alle nozioni semantiche di verità e falsità, e definisce la relazione di contraddizione fra a, b esplicitando la condizione che a e b non possono essere entrambi veri e non possono essere entrambi falsi. Una seconda caratterizzazione fa perno sulla nozione sintattica di negazione, e definisce la relazione di contraddizione fra a, b esplicitando la condizione che a e b sono uno la negazione dell’altro.

Un primo problema che è stato indagato concerne il rapporto fra le due caratterizzazioni. Jan Łukasiewicz (1910) ha per primo dimostrato che le due caratterizzazioni sono equivalenti, nel senso che ciascuna è derivabile dall’altra, se si accetta una caratterizzazione minimale, di matrice aristotelica, del predicato di verità, secondo la quale un enunciato a è vero se e solo se a. I presupposti filosofici che portano alla definizione rigorosa di un predicato di verità così caratterizzato, nonché le sue implicazioni, sono materia di ampia discussione (Kirkham 1992),  ma qui basta menzionare il fatto che una tale caratterizzazione è – quasi – universalmente considerata una condizione necessaria, almeno estensionalmente, per un predicato di verità (Williamson 1992).

Patrick Grim (2004) ha tuttavia argomentato che la caratterizzazione semantica della relazione di contraddizione deve avere una priorità su quella sintattica, perché quest’ultima non ha una grana sufficientemente fine da escludere che enunciati contraddittori possano essere entrambi veri, e l’esclusione che enunciati contraddittori possano essere entrambi veri è essenziale per comprendere la relazione di contraddizione. Grim sottolinea, però, che nemmeno la caratterizzazione semantica della relazione di contraddizione riesce a escludere che enunciati contraddittori siano entrambi veri, ma suggerisce che a ciò sia possibile rimediare concentrandosi previamente sulla caratterizzazione della negazione. Segnatamente, una definizione della negazione che sia fondata su una nozione più fondamentale di esclusione può risolvere il problema.

Catarina Dutilh Novaes (2007) ha radicalizzato la tesi di Grim, argomentando che la caratterizzazione sintattica della relazione di contraddizione non solo è subordinata a quella semantica, ma è addirittura dispensabile. La tesi di Dutilh Novaes si basa sull’osservazione che la proprietà essenziale espressa dalla relazione di contraddizione è quella della reciproca esclusione e congiunta esaustività di qualunque coppia di enunciati che stanno in quella relazione, indipendentemente dalla forma sintattica che questi enunciati possono esibire. Per formulare la reciproca esclusione e congiunta esaustività degli enunciati che stanno nella relazione di contraddizione è possibile sfruttare il contenuto del principio di non contraddizione e del principio del terzo escluso, ma per formulare il contenuto del principio di non contraddizione e del principio del terzo escluso non è necessario impiegare alcuna nozione sintattica, perciò la relazione di contraddizione e la nozione di negazione sono indipendenti.

Graham Priest (2007) ha argomentato che una teoria della negazione va incardinata su una teoria dei contraddittori. La negazione è l’operatore che forma enunciati contraddittori, ma le proprietà logiche che distinguono gli enunciati contraddittori devono essere catturate indipendentemente per determinare le proprietà che l’operatore della negazione deve soddisfare per essere riconosciuto come tale. Priest sostiene che due enunciati a, ¬a sono contraddittori se e solo la verità di a implica la falsità di ¬a e la verità di ¬a implica la falsità di a: se i contraddittori godono di questa proprietà, infatti, la negazione gode della proprietà di invertire i valori di verità degli enunciati cui si applica in modo vero-funzionale – la vero-funzionalità di un operatore logico l è la proprietà per cui l forma un enunciato complesso il cui valore di verità dipende esattamente dal valore di verità degli enunciati elementari che compongono l’enunciato complesso. Priest argomenta che quest’ultima proprietà è la proprietà minimale che è necessaria affinché un operatore possa essere considerato un operatore di negazione. Inoltre, data questa proprietà risultano automaticamente soddisfatti sia il principio di non contraddizione sia il principio del terzo escluso. Tuttavia, che il principio di non contraddizione risulti una tautologia non esclude che due enunciati a, ¬a siano entrambi veri a meno di presupporre la consistenza della metateoria, cioè, a meno di presupporre che la teoria dei contraddittori su cui va incardinata la teoria della negazione imponga che ogni enunciato del linguaggio in esame non possa ricevere più di un valore di verità.

Heinrich Wansing (2007) contesta la proposta di Priest, osservando che, assumendo il suo resoconto delle proprietà caratterizzanti i contraddittori da cui deriva il resoconto delle proprietà caratterizzanti la negazione, risulta che l’operatore di negazione invalso nella logica intuizionistica è un operatore che non forma enunciati contraddittori ma forma enunciati contrari. Stano all’argomentazione di Priest, da ciò segue che il supposto operatore di negazione invalso nella logica intuizionistica non è un operatore di negazione affatto. Ma, sostiene Wansing, anche se si accetta la tesi di Priest secondo cui la negazione intuizionistica forma enunciati contrari, non contraddittori, è comunque possibile salvare la tesi che essa è un operatore di negazione genuino se si aggancia la negazione non alla relazione di contraddizione, ma alla relazione più ampia di opposizione, che, secondo Wansing, è la principale relazione che la negazione è deputata a esprimere.

Francesco Berto (2015, forthcoming) suggerisce di caratterizzare l’operatore di negazione come un operatore modale.

In generale, gli operatori modali della logica formale sono quelli che forniscono le risorse concettuali per rappresentare e trattare non solo stati di cose, ma il modo di darsi degli stati di cose. Due particolari modi di darsi degli stati di cose hanno ricevuto grande attenzione: i modi di darsi della possibilità e della necessità. Gli operatori modali, compresi quelli della possibilità e della necessità, non sono vero-funzionali: il valore di verità di un enunciato complesso formato da un operatore modale non è determinato esattamente dal valore di verità dell’enunciato elementare cui l’operatore modale si applica.

Data la non-verofunzionalità degli operatori modali, la possibilità di mettere a punto un metodo generale per valutare il valore di verità di enunciati modali dipende dall’estensione dell’apparato semantico che è necessario e sufficiente a determinare il valore di verità di enunciati non modali. Questa estensione riposa essenzialmente su due tecniche. In termini informali, occorre anzitutto considerare non solo il valore di verità di un enunciato nella situazione in cui esso è valutato – la situazione attuale – ma anche il valore di verità di quell’enunciato in altre situazioni possibili – questo è il fattore non vero-funzionale che concorre a determinare il valore di verità di enunciati modali. In seconda battuta occorre stabilire qual è la relazione fra la situazione attuale è valutato e le altre situazioni possibili, dato che queste ultime devono contribuire a determinare il valore di verità di enunciati modali. Una volta specificato l’insieme S delle situazioni considerate – che è la coppia costituita dalla situazione attuale e dal dominio delle situazioni possibili di cui la situazione attuale è un elemento – e la relazione fra la situazione attuale un enunciato e le altre situazioni possibili, si può stabilire, per esempio, che un enunciato a è necessariamente vero se e solo se è vero in tutte le situazioni che sono possibili relativamente alla situazione attuale, e che un enunciato a è possibilmente vero se e solo se è vero in almeno una situazione che è possibile relativamente alla situazione attuale. In termini più tecnici, si può dimostrare che la variazione delle proprietà formali della relazione che sussiste fra le situazioni di S implica la variazione delle formule valide, cioè delle formule che risultano vere sotto ogni valutazione.

La caratterizzazione modale della negazione proposta da Berto mira a fondare la negazione sulla nozione di incompatibilità, che è intesa come una relazione fra situazione alternative. Le proprietà necessarie e sufficienti che definiscono la nozione di incompatibilità sono chiamate a fissare le proprietà formali della relazione fra situazioni alternative, e il valore di verità di un enunciato negato ¬a in una situazione è relativizzato al valore di verità di a in tutte le situazioni che sono incompatibili relativamente alla situazione in cui ¬a è valutato. La caratterizzazione modale della negazione ambisce a elaborare un criterio generale in base al quale giudicare se i diversi operatori di negazione adottati in diversi sistemi di logica possono effettivamente essere considerati operatori di negazione. Dall’argomentazione di Berto emerge che tanto la negazione classica quanto la negazione intuizionistica meritano il titolo di negazione, e che la differenza fra esse non consiste in una differenza nella caratterizzazione della relazione di incompatibilità fra situazioni, bensì in una differenza nella caratterizzazione delle situazioni fra le quali sussiste la relazione di incompatibilità.

Il risultato dell’argomentazione di Berto rafforza la tesi di un fondamentale articolo di Crispin Wright (1993), in risposta a un altrettanto importante articolo di Christopher Peacocke (1987). Peacocke tentava di mostrare che l’esclusività espressa dalla negazione è sufficiente a guadagnare l’esaustività della negazione, screditando la negazione intuizionistica. Wright confutava l’argomentazione di Peacocke mostrando che essa commette una petizione di principio nella misura in cui presuppone una certa dose di esaustività della negazione nella derivazione dell’esaustività dall’esclusività.

 Andrea VETTORE

Bibliografia

 Berto, F., (2015), A Modality Called Negation, in Mind, forthcoming.

Dutilh Novaes, C., (2007), Contradiction: the real philosophical challenge for paraconsistent logic, in Handbook of Paraconsistency, a cura di Y. Beziau, W. Carnielli, D. Gabbay, London, College Publications, pp. 477-492.

Grim, P., (2004), What is a contradiction?, in The Law of Non-Contradiction. New Philosophical Essays, a cura di G. Priest, J. C. Beall, B. Armour-Garb, Oxford, Clarendon Press, pp. 49-72.

Kirkham, R. L., (1992), Theories of Truth. A Critical Introduction, Cambridge (Massachussets), MIT Press.

Łukasiewicz, J., (1910), O zasadzie sprzecznosci u Arystotelesa, Cracow, Studium Krytyczne, tr. it. a cura di G. Franci, C. A. Testi, Del principio di contraddizione in Aristotele, Macerata, Quodlibet, 2006.

Peacocke, C. (1987), Undesrtanding Logical Constants: A Realists’s Account’, in Proceedings of the British Academy, 73, pp. 153-200.

Priest, G., (2007), Reply to Slater, in Handbook of Paraconsistency, a cura di Y. Beziau, W. Carnielli, D. Gabbay, London, College Publications, pp.467-474.

Wansing, H., (2007), Contradiction and Contrariety. Priest on Negation, in Essays in Logic and Ontology, a cura di J. Malinowski, A. Pietruszczak, Amsterdam, Rodopi, pp. 81-93.

Williamson, T., (1992), Vagueness and Ignorance, in Proceedings of the Aristotelian Society, 66, pp. 145-162.

Wright, C. (1993), On an Argument on Behalf of Classical Negation, in Mind, 102, pp. 123-131.

 

 

 

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